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Espectro da radiação de corpo negro para diversas temperaturas. A lei de Wien descreve o comportamento do comprimento de onda para o qual a intensidade da radiação é máxima em função da temperatura.

A lei de Wien (ou lei do deslocamento de Wien) é a lei da física que relaciona o comprimento de onda onde se situa a máxima emissão de radiação eletromagnética de corpo negro e sua temperatura:^[1]

${\displaystyle {\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_{\text{max}}=\frac{b}{T}}$

onde

${\displaystyle {\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_{\text{max}}}$ é o comprimento de onda (em metros) onde a intensidade da radiação eletromagnética é a máxima;

${\displaystyle T}$ é a temperatura do corpo em kelvin (K), e

${\displaystyle b}$ é a constante de proporcionalidade, chamada constante de dispersão de Wien, em m.K (metro x Kelvin).

O valor dessa constante é ${\displaystyle b=2.8977685\times <!--\; \times \; -->{10}^{-<!--\; -\; -->3}}$ m.K

O que resulta em:

${\displaystyle {\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_{\text{max}}=\frac{0.0028976}{T}}$

Conforme a lei de Wien, quanto maior for a temperatura de um corpo negro, menor será o comprimento de onda para o qual a emissão é máxima. Por exemplo, a temperatura da fotosfera solar é de 5780 K e o pico de emissão se produz a 475 nm =${\displaystyle (4,75\cdot <!--\; \cdot \; -->{10}^{-<!--\; -\; -->7}m)}$. Como 1 angstrom 1 Å= 10⁻¹⁰ m=10⁻⁴ micras resulta que o máximo ocorre a 4750 Å.

Dedução[editar | editar código-fonte]

Esta lei foi formulada empiricamente por Wilhelm Wien. Entretanto, hoje se deduz da lei de Planck para a radiação de um corpo negro da seguinte maneira:

${\displaystyle E(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->},T)=\frac{C_1}{{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^5\cdot <!--\; \cdot \; -->(e^{\frac{C_2}{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->T}}-<!--\; -\; -->1)}=\frac{C_1\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^{-<!--\; -\; -->5}}{(e^{\frac{C_2}{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->T}}-<!--\; -\; -->1)}}$

onde as constantes valem no Sistema Internacional de Unidades ou sistema MKS:

${\displaystyle C_1=8\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}hc=4,99589\cdot <!--\; \cdot \; -->{10}^{-<!--\; -\; -->24}[J\cdot <!--\; \cdot \; -->m]}$

${\displaystyle C_2=\frac{hc}{k}=1,4385\cdot <!--\; \cdot \; -->{10}^{-<!--\; -\; -->2}m\cdot <!--\; \cdot \; -->K=1,4385\cdot <!--\; \cdot \; -->{10}^4[\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}m\cdot <!--\; \cdot \; -->K]}$

Para encontrar o máximo, a derivada da função com respeito a ${\displaystyle \mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}$ tem de ser zero.

${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}(E(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->},T))}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}=0}$

Basta utilizar a regra de derivação do quociente e como se tem que igualar a zero, o numerador da derivada será nulo ou seja:

${\displaystyle \frac{c_2}{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->T}=5\cdot <!--\; \cdot \; -->(1-<!--\; -\; -->e^{\frac{-<!--\; -\; -->C_2}{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->T}})}$

Se definimos

${\displaystyle x\equiv <!--\; \equiv \; -->\frac{c_2}{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}T}}$

então

${\displaystyle \frac{x}{1-<!--\; -\; -->e^{-<!--\; -\; -->x}}-<!--\; -\; -->5=0}$

Esta equação não pode ser resolvida analiticamente. Utilizando o método de Newton ou da tangente:

${\displaystyle x=4.965114231744276\dots <!--\; \dots \; -->}$

Da definição de x resulta que:

${\displaystyle {\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_{\text{max}}\cdot <!--\; \cdot \; -->T=\frac{c_2}{x}=\frac{1.4385\cdot <!--\; \cdot \; -->{10}^4}{4.965114231744276}=2897,6\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}mK}$

Assim que a constante de Wien é ${\displaystyle 2897,6\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}m\cdot <!--\; \cdot \; -->K}$ pelo que:

${\displaystyle {\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_{\text{max}}\cdot <!--\; \cdot \; -->T=2897,6\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}m\cdot <!--\; \cdot \; -->K}$

Referências

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

• Fórmula empírica de Wien

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